四元数旋转公式证明

之前学习图形学的时候，绕任意轴旋转的旋转矩阵可以由四元数推导出来。我觉得很神奇，百思不得其解其背后的原理。直到找到一篇靠谱的文献，细细地研究了好几个晚上，才弄明白了。想通的那一刻，成就感真是满满的。所以，粗略地记下来吧。

四元数是一种高阶复数，它可以用来刻画空间中的旋转。四元数表示为：

其中，，，满足：

由于i，j，k的性质和笛卡尔坐标系三个轴叉乘的性质很像，所以可以将四元数写成一个向量和一个实数组合的形式：

可以推导出四元数的一些运算性质，包括：

四元数乘法

共轭四元数

四元数的平方模

四元数的逆

等等。四元数可以看做是向量和实数的一种更加一般的形式，向量可以视作为实部为0的四元数，而实数可以是作为虚部为0的四元数。上述四元数的运算性质也是实数或向量的运算性质的更一般的形式。

那么，四元数如何表示三维旋转呢？

假设有一个旋转，绕单位向量(x,y,z)表示的轴，旋转ϴ角度，可令四元数q为：

那么某个点P，写成四元数的形式((x,y,z),0)，其旋转后的坐标P'为：

接下来我们来证明这一点。

首先，我们证明

其中s为实数。显然

此时，我们可以将q看做是单位矩阵，因为如果q不是单位矩阵，我们就可以乘以一个常数s将其化为单位矩阵。

然后，我们证明qpq^{-1}和p的模长相等

下面将q视为单位四元数：

四元数q的标量:

那么：

最后，我们证明

如图所示，u为旋转轴，旋转角度为σ，向量v旋转到w处。旋转到σ/2处为k（图中未标出）。

下面也用相同的字母指代四元数，如u就表示向量u的四元数形式((ux,uy,uz),0)。

首先，令u方向上的单位向量为u（为了方便，命名不变，后面的u都是指旋转轴方向的单位四元数），那么根据q的定义，参见四元数乘法法则：

现在令

如果能证明w与v的夹角是σ，那么就说明w确实是v旋转σ得到的，整个命题就得证了。

注意v，k和w都是实部为0的单位四元数，表示单位向量，我们有：

所以

上面的式子拆分成实部和虚部，虚部表明w与-k的平面和k与-v的平面重合，实部表明w和-k之间的夹角与k和-v之间的夹角相等，都是π-σ/2。这就说明了w与v的夹角是σ，原命题就得证了。

参考文章：

（完）

一叶斋